função afim – resolução – unicamp 2013

6 05 2013

Hoje vou postar a resolução de um problema de função afim que apareceu no vestibular de 2013 da UNICAMP:

(Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres.

 

Considere a tabela abaixo.

 

Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x)
35 23,8 cm
42 27,3 cm

 

Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração.

Resolução:

Em qualquer função afim do tipo f(x) = ax + b, o valor de representa a taxa de variação. Muitos livros e professores referem-se a este a apenas como coeficiente angular. Isso é certo, mas não podemos nos esquecer do a como taxa de variação, que nada mais é do que a razão entre uma variação do y e a variação correspondente do x.

Isto é: \displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Vamos aplicar essa ideia para descobrir o a da função t(x) = ax +b no nosso problema. Nossos pontos \displaystyle \left( x,y \right) seriam \displaystyle \left( 23,8;35 \right)\displaystyle \left( 27,3;42 \right).

Assim:

\displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{42-35}{27,3-23,8}=\frac{7}{3,5}=2.

Para determinar o valor de b, basta usar as coordenadas de um ponto qualquer na expressão algébrica da função. Assim:

\displaystyle t\left( x \right)=ax+b=2\cdot 23,8+b=35\Leftrightarrow b=-12,6

Caso durante a prova você resolvesse o caminho alternativo, isto é, encontrar os valores de cd, o procedimento seria análogo, e você encontraria as respostas \displaystyle c=\frac{1}{2}\displaystyle d=6,3.

Espero ter ajudado.

Se você resolveu de outra forma, se ficou com alguma dúvida, ou se quiser fazer qualquer comentário, terei prazer em responder.

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Quem se identifica?

3 01 2013

Eu sempre fui bem em matemática, até o oitavo ano. Aí entraram as letras e comecei a não entender mais nada. Depois disso nunca mais consegui ir bem em nenhuma prova de matemática. Para mim essa matéria é um suplício. A cada dia de prova eu sofro muito. Hoje já melhorou,  já me convenci de que nunca vou conseguir. Na verdade eu já desisti de tentar. Passo de conselho de classe e vou levando assim até o terceiro. Depois é só escolher uma carreira que não tenha exatas e pronto. Acho que vou fazer jornalismo ou direito. Engraçado, antigamente eu queria ser engenheiro, ou arquiteto.

Se você se identifica com o texto acima, saiba que não é o único. E saiba que a culpa não é sua. E saiba que ainda pode realizar seu sonho.

Se quiser escrever sua experiência, ou deixar um comentário sobre o que eu escrevi, terei imenso prazer em ler.





A evolução dos quadriláteros

20 10 2009

A história de evolução dos quadriláteros nos leva aos tempos mais remotos da Ilha dos Quadriláteros. Muito no princípio estas figuras não tinham nenhuma propriedade particular. Eram todos muito imperfeitos: não tinham lados iguais e longe estavam de serem paralelos. Muito tempo se passou, e após longas jornadas de trabalho e adaptação ao ambiente, finalmente os quadriláteros realizaram uma grande conquista: dois de seus lados, opostos, tornaram-se paralelos. Ao se perceberem assim, tais seres resolveram que o simples nome quadrilátero já não lhes era suficiente. Disseram então os recém evoluídos quadriláteros: – a partir de hoje vamos nos chamar trapézios.

Reza a lenda que os trapézios eram seres quadriláteros muito trabalhadores e dedicados. Embora satisfeitos com seus lados opostos paralelos, percebiam-se incompletos, sentiam que podiam melhorar ainda mais sua condição quadrilátera. Eis que depois de demoradas épocas de dificuldade, através de muito esforço, os trapézios conseguiram conquistar uma nova propriedade. Ganharam os trapézios mais um par de lados paralelos. Agora tinham esses seres os dois pares de lados opostos paralelos. Estavam muito contentes e se percebiam quadriláteros mais evoluídos, tanto que não mais poderiam se chamar trapézios. Mereciam outra denominação e acharam que a melhor delas seria paralelogramos.

Os paralelogramos eram figuras belas e harmônicas e chamavam a atenção dos trapézios esbanjando o paralelismo de seus lados. Porém muita beleza logo atraiu olhares invejosos e comportamentos excessivamente vaidosos. Não tardou muito até que os paralelogramos começassem a se odiar entre si. Todos queriam evoluir mais na senda das propriedades, mas discordavam quanto ao melhor caminho a ser tomado. Tanta desavença acabou por separá-los geograficamente.  Dois grupos de paralelogramos foram habitar duas partes isoladas da Ilha dos Quadriláteros. E assim permaneceram por incontáveis séculos. A paz reinou em cada uma das ilhas e os dois grupos de paralelogramos evoluíram, porém de formas diferentes.

Um dos grupos desenvolveu extraordinária capacidade de adaptação e admirável senso estético. Além de lados opostos paralelos, esses novos paralelogramos desenvolveriam a capacidade de ter lados de medidas iguais. O salto de qualidade foi enorme. Eram paralelogramos belíssimos e em jus a essa beleza passaram a ser conhecidos como losangos. O outro grupo de paralelogramos tinha um senso estético também notável, e trabalharam muito para lapidar suas propriedades e acabaram por realizar uma conquista belíssima em suas propriedades: teriam estes paralelogramos agora, além dos lados opostos paralelos, os ângulos internos de igual medida, todas iguais a um ângulo reto. Imaginem vocês a alegria desses quadriláteros ao se admirarem portadores de quatro ângulos retos. Era tanta euforia que também a estes o nome paralelogramo pouco lhes traduzia a essência. Em homenagem aos seus ângulos retos, resolveram se chamar então de retângulos.

Losangos e retângulos vivam tranquilos em seus “países”, isolados um dos outros, sem sequer conhecerem o progresso que cada um deles havia alcançado. Mas, por sorte, ou pela providência do deus dos quadriláteros, entre os dois grupos havia seres que lembravam saudosamente de uma convivência pacífica num pretérito distante. Retângulos muito amorosos conviviam harmoniosamente com paralelogramos e outros quadriláteros primitivos, reconhecendo-se mais evoluídos, porém sendo conscientes também de pertencerem todos à mesma grande família. Losangos de moral elevada também conviviam com trapézios pouco evoluídos e outros quadriláteros genéricos, e sentiam em seus corações que algo deveria ser feito para que novamente a humanidade quadrilátera pudesse voltar a viver conjunta e pacificamente.

Losangos e retângulos ousados saíram a explorar o mundo, a buscar o elo perdido de suas existências.  Dias e noites incontáveis se passaram até que a providência mostrou toda sua benevolência para esses preciosos seres da geometria. Era o final de um dia de muita exploração, longas caminhadas infrutíferas haviam sido feitas e o cansaço abatia fortemente o losango e a retângula. Sem que pudessem saber, seus acampamentos ficaram próximos ao lago da região. Com a proximidade da noite, losango e retângula foram saciar sua sede e aplacar o calor nas águas do lago. As imagens desse encontro são quase inenarráveis, tão belas e emocionantes foram. Losango e retângula prontamente intuíram que haviam finalmente encontrado aquilo que gerações e gerações haviam buscado sem sucesso. Embora de aparências distintas, imediatamente reconheceram-se partes da mesma família, paralelogramos que eram os dois. E tão logo entenderam a importância de seu encontro, abraçaram-se, beijaram-se e trocaram carícias durante toda a noite.

A humanidade quadrilátera relata esse encontro como uma grande bênção, já que somente a partir dele é que foi possível perceber o quanto a desarmonia, a inveja e o orgulho não trazem nada de bom. Após aquela noite de amor, losango e retângula nunca mais deixaram de estar juntos, e trouxeram ao mundo novos seres, herdeiros estes da beleza da mãe e da sabedoria do pai. Os novos seres eram paralelogramos com todos os ângulos iguais e também com todos os lados iguais. Eram mais que um losango e também mais que um retângulo, e por isso mereciam uma denominação que contemplasse a exuberante beleza e harmonia de que eram constituídos. Foram então chamados quadrados e vieram a esse mundo para mostrar que todos eram iguais.

Os quadrados, com sua grande inteligência, ensinaram a todos os outros quadriláteros a humildade e o respeito. Mostraram que embora os seres evoluam para formas mais aperfeiçoadas, eles ainda mantém propriedades daqueles quadriláteros mais primitivos, e que somente graças a elas é que foi possível chegar ao grau de evolução que hoje têm. Graças aos quadrados, os quadriláteros vivem hoje em grande harmonia, cada um cumprindo sua importante função no mundo da geometria.





Resolução da questão 68 – ENEM 2009 (prova que vazou)

13 10 2009

questao 68

Suponhamos que a figura abaixo represente uma secção do cone completo.

resoluçao q68

Assim, a alternativa correta é a (B). (no arquivo PDF fornecido pelo enem o número ∏ (pi) não saiu ao lado do número 108, mas deveria estar lá na prova impressa)

Comentário: Já dei minha opinião sobre o enunciado da questão aqui. Quanto ao problema em si, é um clássico dos vestibulares. O candidato precisa conhecer as propriedades do tronco de cone, triângulos semelhantes e trigonometria no triângulo retângulo.

Se você pensou de outro jeito, não entendeu meu raciocínio, ou quer fazer qualquer comentário, não se acanhe. Será bem-vindo! Bons estudos.





Yin-yang feito no geogebra

12 10 2009

ScreenHunter_11 Oct. 12 14.54





mosaico de polígonos regulares

12 10 2009

ScreenHunter_09 Oct. 12 12.30





sequência de polígonos regulares

12 10 2009

ScreenHunter_08 Oct. 12 12.28








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