Fuvest 2016 – Logaritmos

30 11 2015

Mais uma vez a 1ª fase da Fuvest traz uma questão de logaritmo. Exigindo pura técnica de manipulação das propriedades, é uma questão sem nenhum contexto, que não agrega nada ao aluno nem à matemática escolar. Que pena que o maior vestibular desse país se preste a questões como essa.

Mesmo assim, aí vai a resolução, para quem quiser.

Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

 S=\frac{1}{2\cdot\log_{2}2016}+\frac{1}{5\cdot\log_{3}2016}+\frac{1}{10\cdot\log_{7}2016}.

O valor de S é:

a) \frac{1}{2}

b) \frac{1}{3}

c) \frac{1}{5}

d) \frac{1}{7}

e) \frac{1}{10}

Resolução:

 

Considere as igualdades abaixo:

  • \log{2016}=\log(2^5\cdot3^2\cdot7)=5\log2+2\log3+\log7
  • \frac{1}{2\cdot \log_{2}{2016}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\log_{2}{2016}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{\log2016}{\log2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\log2}{\log2016}=\frac{\log2}{2\cdot\log2016}
  • \frac{1}{5\cdot \log_{3}{2016}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{\log_{3}{2016}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\frac{\log2016}{\log3}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{\log3}{\log2016}=\frac{\log3}{5\cdot\log2016}
  • \frac{1}{10\cdot \log_{7}{2016}}=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{\log_{7}{2016}}=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{\frac{\log2016}{\log7}}=\frac{1}{10}\cdot \frac{\log7}{\log2016}=\frac{\log7}{10\cdot\log2016}

Assim, temos:

S=\frac{\log2}{2\cdot\log2016}+\frac{\log3}{5\cdot\log2016}+\frac{\log7}{10\cdot\log2016}=\frac{5\log2+2\log3+\log7}{10\log2016}=\frac{log2016}{10\log2016}=\frac{1}{10}

Se você resolveu de outra forma, ou não entendeu a solução que eu propus, por favor deixe seus comentários ou perguntas.

 





Semelhança de figuras planas

27 11 2015

Publico aqui alguns dos trabalhos de meus alunos de 9º ano. A proposta era simplesmente que eles realizassem um desenho livre em papel quadriculado e depois fizessem a ampliação. Apreciem e comentem.

 





Resolva, se for capaz!

27 11 2015

Esse problema é realmente belo, pela sua simplicidade. Trata-se apenas de encontrar o valor de x. Quando aplico provas, deixo este problema como desafio bônus. Só um ou outro aluno acaba percebendo como resolvê-lo. E você, consegue?

A figura abaixo é uma foto de uns cartões que uso para mostrar aos alunos a solução do problema. Com estes cartõezinhos na mão, fica tudo mais fácil de entender. Mas na prova não vale, o esforço é fazer a manipulação apenas de forma mental.

Boa resolução. Adoraria ouvir seus comentários!!!

problema de semelhança





ENEM 2014 Questão 136 Caderno Rosa

16 11 2014

Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em \frac{1}{8} , preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é:

a) \frac{1}{8}

b) \frac{7}{8}

c) \frac{8}{7}

d) \frac{8}{9}

e) \frac{9}{8}

Resolução:

Antes de mais nada, podemos desprezar a espessura da porta, já que de um modelo para outro ela se preserva. Então nosso problema passa a ser um problema de geometria plana. Sem perda de generalidade, podemos pensar que a porta original é um quadrado de 1 x 1 (e, portanto de área 1). Se uma das dimensões deve aumentar em \frac{1}{8} , seu novo valor será de \frac{9}{8} (que é o mesmo que 1 + \frac{1}{8} , ou ainda 1\frac{1}{8} ).

Se a área deve se manter, então a outra dimensão tem que ser um valor que, multiplicado por \frac{9}{8} , seja igual a 1. Esse valor é \frac{8}{9} . E esse novo valor, dividido pelo valor original (=1) , dá o próprio \frac{8}{9} .

alternativa D

Captura de tela de 2014-11-16 11:02:33Observação: em geral a prova do ENEM preza, estimula, sugere questões com esse tipo de abordagem, simples, sem muitos apelos algébricos, mais pela via mesmo do raciocínio numérico ou aritmético.

Se você tiver uma ideia diferente de como resolver ou abordar esse problema, por favor me escreva. Será um prazer ter a sua contribuição.

Edição em 18/11/2014:

Bons alunos relatam ter enfrentado dificuldades com essa questão. Gostaria muito de ouvir outros alunos que fizeram o ENEM e pensaram nesta questão (e não conseguiram acertá-la) assim como gostaria de ouvir outros professores que pensam em como abordar esta questão, de raciocínio simples, mas muito marota.





Provas do ENEM não tem o PDF publicado

15 11 2014

Alguém saberia explicar o motivo pelo qual o INEP não divulga o PDF oficial das provas do ENEM 2014? Essa é uma pergunta que me intriga. Busquei a prova em alguns lugares pela internet mas só achei versões digitalizadas, fotografadas ou redigitadas (com máxima fidelidade no formato mas não é a versão original) com imagens.

Aqui alguns exemplos:

http://www.curso-objetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/enem/2014/enem2014_2dia.pdf (reformatada)

http://www.infoenem.com.br/wp-content/uploads/2014/11/ENEM-2014-ROSA.pdf (essa me parece digitalizada ou fotografada)

Qual será a razão para esse mistério?





função afim – resolução – unicamp 2013

6 05 2013

Hoje vou postar a resolução de um problema de função afim que apareceu no vestibular de 2013 da UNICAMP:

(Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres.

 

Considere a tabela abaixo.

 

Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x)
35 23,8 cm
42 27,3 cm

 

Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração.

Resolução:

Em qualquer função afim do tipo f(x) = ax + b, o valor de representa a taxa de variação. Muitos livros e professores referem-se a este a apenas como coeficiente angular. Isso é certo, mas não podemos nos esquecer do a como taxa de variação, que nada mais é do que a razão entre uma variação do y e a variação correspondente do x.

Isto é: \displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Vamos aplicar essa ideia para descobrir o a da função t(x) = ax +b no nosso problema. Nossos pontos \displaystyle \left( x,y \right) seriam \displaystyle \left( 23,8;35 \right)\displaystyle \left( 27,3;42 \right).

Assim:

\displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{42-35}{27,3-23,8}=\frac{7}{3,5}=2.

Para determinar o valor de b, basta usar as coordenadas de um ponto qualquer na expressão algébrica da função. Assim:

\displaystyle t\left( x \right)=ax+b=2\cdot 23,8+b=35\Leftrightarrow b=-12,6

Caso durante a prova você resolvesse o caminho alternativo, isto é, encontrar os valores de cd, o procedimento seria análogo, e você encontraria as respostas \displaystyle c=\frac{1}{2}\displaystyle d=6,3.

Espero ter ajudado.

Se você resolveu de outra forma, se ficou com alguma dúvida, ou se quiser fazer qualquer comentário, terei prazer em responder.

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http://aulasdematematicablog.wordpress.com/





Quem se identifica?

3 01 2013

Eu sempre fui bem em matemática, até o oitavo ano. Aí entraram as letras e comecei a não entender mais nada. Depois disso nunca mais consegui ir bem em nenhuma prova de matemática. Para mim essa matéria é um suplício. A cada dia de prova eu sofro muito. Hoje já melhorou,  já me convenci de que nunca vou conseguir. Na verdade eu já desisti de tentar. Passo de conselho de classe e vou levando assim até o terceiro. Depois é só escolher uma carreira que não tenha exatas e pronto. Acho que vou fazer jornalismo ou direito. Engraçado, antigamente eu queria ser engenheiro, ou arquiteto.

Se você se identifica com o texto acima, saiba que não é o único. E saiba que a culpa não é sua. E saiba que ainda pode realizar seu sonho.

Se quiser escrever sua experiência, ou deixar um comentário sobre o que eu escrevi, terei imenso prazer em ler.